Stochastic process

개념

한국말로 확률 과정이라고도 하는 Strochastic process는 시간에 따라 일어나는 현상이 확률에 의해 결정되는 것을 수학적으로 표현한 것이다.

예를 들어 주식 가격의 변동이나 날씨변화를 Stochastic process가 가능하다. 이러한 현상들은 과거의 값들에 의존하지만, 미래의 값은 확률적으로 결정된다.

단순 확률인 probability와 혼동이 올 수 있으나 시간(Path)에 따른 확률로 이해하면 쉽다.

특징

1. Independent Increment : 시간 t에서의 값 $X_t$와 t-1에서의 값 $X_{t-1}$의 차이인 $X_t-X_{t-1}은 t에 독립적이다. 즉 과거의 값으로부터 미래의 값을 정확히 예측할 수 없다. 오늘 비올 확률과 내일 비올확률이 독립.
2. Stationary : Stochastic process가 이 특성을 안가질 수 있지만, 어떤 구간을 잘라내도 첫 시점이후 분포는  다른 잘라낸 구간과 동일한 분포를 가지는 것으로, 시간에 따라 변하지 않고 일정한 통계적 성질을 가지는지를 설명할 수 있다.
3. Markov property : 현재 상태만 가지고 미래를 예측하는 것으로 과거의 모든 정보를 현재 상태가 가지고 있다라고 가정한다. 이것 또한 Stochastic process가 무조건 가지는 특징은 아니다.

예시

동전 던지기 게임

 동전을 연속적으로 던져 앞면이 나오면 +1, 뒷면이 나오면 -1을 하는 게임을 예로 들겠다. 이는 stochastic process의 단순한 형태인 simple random walk에 해당하는 것으로, 이게임에 100또는 -50점에 도달할 때 끝나는 상황일 때 100점에 먼저 도달할 확률은 1/3이다.

 

점심메뉴 선택

매일 메뉴를 정해야한다고 하자. 이전에 먹은 메뉴에 따라 다음 메뉴를 선택할 확률이 달라질 수 있으므로 확률과정을 해보자.

날짜	16	17	18	19	20	21
메뉴	탕수육	짜장	짬뽕	김밥	탕수육	굶기

16일부터 20일 까지 보았을때 21일은 짜장면으로 생각해 볼 수 있다.

아니면 5일에 한번은 탕수육, 4일마다 고기 등 다양하게 룰이 떠오를 수 있다.

22일 날 먹을 점심이 전날 또는 그 이전에 먹은 점심과 연관이 있을 지 없을 지 모르는 상황이다. 

 

random variable를 S라고 하고(일반적으로 X로 한다)

이를 날짜(t)에 따라 다음과 같이 표현하는 것이 Stochastic process이다.

$$ S_{16}= 탕수육, S_{17}=짜장 $$

확률을 가지고 있으므로 22날 짜장을 먹을 확률은 다음과 같다.

$$P(S_{22}=짜장| S_{21}=굶기, S_{20}=탕수육 ...)$$